退職後期間を空けずに次の就職先に勤める場合は、その会社の健康保険に加入することになりますが、すぐに再就職しない場合、健康保険の手続きはご自身で行うことになります。
手続きには3通りあり、「任意継続」の手続きを行うか、「国民健康保険」に加入するか、または「ご家族の扶養」に入るかのいずれかを行います。

「任意継続」
市区町村の国民健康保険に加入するのではなく、現在加入している健保の保険に入り続ける制度で、最大2年間加入できます。
保険料は健康保険料＋介護保険料の倍額です（上限あり）。
退職後20日間以内に手続きしないと加入できません。

協会けんぽのHP→https://www.kyoukaikenpo.or.jp/g3/cat320/sb3180/sbb3180

「国民健康保険」
お住まいの市区町村で加入できます。市区町村によって保険料が異なります。

「ご家族の扶養に入る」
ご家族の加入する保険者（会社など）に連絡をして手続きをしてもらうことになります。
先1年間の収入見込みが130万円以下であれば扶養に入ることができますが、失業給付をもらっている間は入ることができません。